Trigonometri: Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Tri Khidayanti - Di kelas X dulu kita telah mempelajari bagaimana menghitung jarak dari dua titik yang diketahui pada bidang datar. Jika diketahui dua titik P ( x1 , y1 ) dan Q( x2 , y2 ) pada bidang datar, maka kuadrat jarak antara dua titik P dan Q adalah
Di pihak lain, dengan menggunakan rumus kosinus dalam segitiga POQ kita peroleh:
Karena ruas kiri dari (3.2) dan (3.3) sama, maka kita simpulkan bahwa:
Jika kita ambil a = 90 = π/2 , maka (3.4) menjadi:
Dari hasil ini, jika b kita ganti dengan π/2 − b, maka
Jadi, untuk sembarang sudut a kita mempunyai identitas
Jika dalam rumus (3.4) b kita ganti dengan –b, dan karena cos(−b) = cos b, maka kita peroleh:
cos(a −(− b)) = cos(a + b) = cos a cos(− b) + sin a sin(−b)
cos(a −(− b)) = cos a cos b − sin a sin b
atau
Jika dalam rumus (3.4) a kita ganti dengan π/2 − a, maka kita peroleh
Dengan (3.5),
Baca juga : Trigonometri: Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)
cos((π/2 − a) − b) = cos(π/2 − (a + b)) = sin(a + b),
cos(π/2 − a) = sin a
sin(π/2 − a) = cos a,
maka dengan (3.4) kita peroleh:
Jika dalam rumus (3.7) b kita ganti dengan –b, maka kita peroleh
Dari rumus (3.6) dan (3.7) kita peroleh
tan(a + b) = sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
Jika pembilang dan penyebut dari ruas kanan kita bagi dengan cos a cos b , maka kita peroleh
Jika dalam rumus (3.9) b kita ganti dengan –b, maka kita peroleh
Baca juga : Trigonometri : Pembuktian Sudut Rangkap
PQ 2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 )2
Sekarang kita ambil titik P dan Q pada lingkaran yang berjari-jari 1 dan berpusat di O, lihat gambar di bawah. Jika XOP = b dan XOQ = a , maka koordinat P dan Q adalah P (cos b, sin b) dan Q(cos a, sin a), ingat definisi sinus dan kosinus. Oleh karena itu dengan rumus sebelumnya di atas kita peroleh
2 – 2 cos (a − b) = 2 − 2(cos a cos b + sin a sin b)
-2 cos (a – b) = 2 – 2 – 2(cos a cos b + sin a sin b)
-2 cos (a – b) = -2 (cos a cos b + sin a sin b)
Cos (a – b) = -2 (cos a cos b + sin a sin b)/ -2
Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b ......................(3.4)
Jika kita ambil a = 90 = π/2 , maka (3.4) menjadi:
cos(π/2 − b) = cos(π/2) cos b + sin(π/2) sin b = sin b
Dari hasil ini, jika b kita ganti dengan π/2 − b, maka
cos b = sin(π/2 − b)
Jadi, untuk sembarang sudut a kita mempunyai identitas
sin(π/2 − a) = cos a dan cos(π/2 − a) = sin a...............(3.5)
Jika dalam rumus (3.4) b kita ganti dengan –b, dan karena cos(−b) = cos b, maka kita peroleh:
cos(a −(− b)) = cos(a + b) = cos a cos(− b) + sin a sin(−b)
cos(a −(− b)) = cos a cos b − sin a sin b
atau
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b........................(3.6)
Jika dalam rumus (3.4) a kita ganti dengan π/2 − a, maka kita peroleh
cos((π/2 − a) − b) = cos(π/2 − a) cos b + sin(π/2 − a )sin b
Dengan (3.5),
Baca juga : Trigonometri: Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)
cos((π/2 − a) − b) = cos(π/2 − (a + b)) = sin(a + b),
cos(π/2 − a) = sin a
sin(π/2 − a) = cos a,
maka dengan (3.4) kita peroleh:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b...............(3.7)
Jika dalam rumus (3.7) b kita ganti dengan –b, maka kita peroleh
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b.............(3.8)
Dari rumus (3.6) dan (3.7) kita peroleh
tan(a + b) = sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
Jika pembilang dan penyebut dari ruas kanan kita bagi dengan cos a cos b , maka kita peroleh
tan(a + b) = tan a + tan b/(1 − tan a tan b).................(3.9)
Jika dalam rumus (3.9) b kita ganti dengan –b, maka kita peroleh
Baca juga : Trigonometri : Pembuktian Sudut Rangkap
tan(a − b) = tan a − tan b/(1 + tan a tan b)......................(3.10)
Demikian materi trigonometri tentang rumus jumlah dan selisih dua sudut. Semoga materi sederhana ini dapat membantu dan memberikan manfaat untuk kita semua.
0 Response to "Trigonometri: Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut"
Post a Comment
Mari budayakan untuk berkomentar!!